Problems on Factorization Using
a$^{2}$ - b$^{2}$ = (a + b)(a - b)

Here we will solve different types of Problems on Factorization using a$^{2}$ – b$^{2}$ = (a + b)(a – b).

1. Factorize: 4a$^{2}$ – b$^{2}$ + 2a + b

Solution:

Given expression = 4a$^{2}$ – b$^{2}$ + 2a + b

                          = (4a$^{2}$ – b$^{2}$) + 2a + b

                          = {(2a)$^{2}$ – b$^{2}$} + 2a + b

                          = (2a + b)(2a – b) + 1(2a + b)

                          = (2a + b)(2a – b + 1)

2. Factorize: x$^{3}$ – 3x$^{2}$ – x + 3

Solution:

Given expression = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ – x + 3

                         = (x$^{3}$ – 3x$^{2}$) – x + 3

                         = x$^{2}$(x – 3) – 1(x – 3)

                         = (x – 3)(x$^{2}$ – 1)

                         = (x – 3)(x$^{2}$ – 1$^{2}$)

                         = (x – 3)(x + 1)(x - 1)

3. Factorize: 4x$^{2}$ – y$^{2}$ + 2x – 2y – 3xy

Solution:

Given expression = 4x$^{2}$ – y$^{2}$ + 2x – 2y – 3xy

                         = x$^{2}$ – y$^{2}$ + 2x – 2y + 3x$^{2}$ – 3xy

                         = (x + y)(x – y) + 2(x – y) + 3x(x – y)

                         = (x – y)(x + y + 2 + 3x)

                         = (x – y)(4x + y + 2)

4. Factorize: a$^{4}$ + a$^{2}$b$^{2}$ + b$^{4}$

Solution:

Given expression = a$^{4}$ + a$^{2}$b$^{2}$ + b$^{4}$

                             = a$^{4}$ + 2a$^{2}$b$^{2}$ + b$^{4}$ - a$^{2}$b$^{2}$

                             = (a$^{2}$)$^{2}$ + 2 ∙ a$^{2}$ ∙ b$^{2}$ + (b$^{2}$)$^{2}$ - a$^{2}$b$^{2}$

                             = (a$^{2}$ + b$^{2}$)$^{2}$ – (ab)$^{2}$

                             = (a$^{2}$ + b$^{2}$ + ab)( a$^{2}$ + b$^{2}$ – ab)

5. Factorize: x$^{2}$ – 3x - 28

Solution:

Given expression = x$^{2}$ – 3x - 28

                         = {x$^{2}$ – 2 ∙ x ∙ $\frac{3}{2}$ + ($\frac{3}{2}$)$^{2}$} – ($\frac{3}{2}$)$^{2}$ - 28

                         = (x - $\frac{3}{2}$)$^{2}$ – ($\frac{9}{4}$ + 28)

                         = (x - $\frac{3}{2}$)$^{2}$ – $\frac{121}{4}$

                         = (x - $\frac{3}{2}$)$^{2}$ – ($\frac{11}{2}$)$^{2}$

                         = (x - $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$)(x - $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$)

                         = (x + 4)(x – 7)

6. Factorize: x$^{2}$ + 5x + 5y – y$^{2}$

Solution:

Given expression = x$^{2}$ + 5x + 5y – y$^{2}$

                         = (x$^{2}$ – y$^{2}$) + 5x + 5y

                         = (x + y)(x – y) + 5(x + y)

                         = (x + y)(x – y + 5)

7. Factorize: x$^{2}$ + xy – 2y - 4

Solution:

Given expression = x$^{2}$ + xy – 2y – 4

                         = (x$^{2}$ – 4) + xy – 2y

                         = (x$^{2}$ – 2$^{2}$) + y(x – 2)

                         = (x + 2)(x – 2) + y(x – 2)

                         = (x - 2)(x + 2 + y)

                         = (x - 2)(x + y + 2)

8. Factorize: a$^{2}$ – b$^{2}$ – 10a + 25

Solution:

Given expression = a$^{2}$ – b$^{2}$ – 10a + 25

                         = (a$^{2}$ – 10a + 25) – b$^{2}$

                         = (a$^{2}$ – 2 ∙ a ∙ 5 + 5$^{2}$) – b$^{2}$

                         = (a – 5)$^{2}$– b$^{2}$

                         = (a – 5 + b)(a – 5 – b)

                         = (a + b – 5)(a – b – 5)

9. Factorize: x(x – 2) – y(y – 2)

Solution:

Given expression = x(x – 2) – y(y – 2)

                         = x$^{2}$ – 2x – y$^{2}$ + 2y

                         = (x$^{2}$ – y$^{2}$) – 2x + 2y

                         = (x + y)(x – y) – 2(x – y)

                         = (x – y)(x + y – 2).

10. Factorize: a$^{3}$ + 2a$^{2}$ – a - 2

Solution:

Given expression = a$^{3}$ + 2a$^{2}$ – a - 2

                         = a$^{2}$(a + 2) – 1(a + 2)

                         = (a + 2)(a$^{2}$ – 1)

                         = (a + 2)(a$^{2}$ – 1$^{2}$)

                         = (a + 2)(a + 1)(a – 1)

11. Factorize: a$^{4}$ + 64

Solution:

Given expression = a$^{4}$ + 64

                         = (a$^{2}$)$^{2}$ + 8$^{2}$

                         = (a$^{2}$)$^{2}$ + 2 ∙ a$^{2}$ ∙ 8 + 8$^{2}$ - 2 ∙ a$^{2}$ ∙ 8

                         = (a$^{2}$ + 8)$^{2}$ – 16a$^{2}$

                         = (a$^{2}$ + 8)$^{2}$ – (4a)$^{2}$

                         = (a$^{2}$ + 8 + 4a)(a$^{2}$ + 8 - 4a)

                         = (a$^{2}$ + 4a + 8)(a$^{2}$ - 4a + 8)

11. Factorize: x$^{4}$ + 4

Solution:

Given expression = x$^{4}$ + 4

                         = (x$^{2}$)$^{2}$ + 2$^{2}$

                         = (x$^{2}$)$^{2}$ + 2 ∙ x$^{2}$ ∙ 2 + 2$^{2}$ - 2 ∙ x$^{2}$ ∙ 2

                         = (x$^{2}$ + 2)$^{2}$ – 4x$^{2}$

                         = (x$^{2}$ + 2)$^{2}$ – (2x)$^{2}$

                         = (x$^{2}$ + 2 + 2x) (x$^{2}$ + 2 – 2x)

                         = (x$^{2}$ + 2x + 2) (x$^{2}$ – 2x + 2)

12. Express x$^{2}$ – 5x + 6 as the difference of two squares and then factorize.

Solution:

Given expression = x$^{2}$ – 5x + 6

                         = x$^{2}$ – 2 ∙ x ∙ $\frac{5}{2}$ + ($\frac{5}{2}$)$^{2}$ + 6 - ($\frac{5}{2}$)$^{2}$

                         = (x - $\frac{5}{2}$)$^{2}$ + 6 - $\frac{25}{4}$

                         = (x - $\frac{5}{2}$)$^{2}$ - $\frac{1}{4}$

                         = (x - $\frac{5}{2}$)$^{2}$ – ($\frac{1}{2}$)$^{2}$, [Difference of two squares]

                         = (x - $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$)(x - $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$)

                         = (x – 2)(x - 3)

9th Grade Math

From Problems on Factorization Using a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) to HOME PAGE